Nous allons donc introduire la notion de moment cinétique qui est l’équivalent pour la rotation de ce qu’est la quantité de mouvement pour les mouvements de translation. Dans les mouvements de rotation il est préférable d’utiliser un autre théorème que le principe fondamental de la dynamique ou le théorème de l’énergie cinétique : ce théorème s’appelle le théorème du moment cinétique. Nous étudierons alors un exemple d’application classique de ce théorème : le pendule simple. En ce qui concerne les moments de force : On a \(\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{T})= \overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{T}\) mais la droite d’action de \(\overrightarrow{T}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{OM}\) et le produit vectoriel est nul : \(\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{T}) = \overrightarrow{0}\); \begin{equation}\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{P})= \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{P} = Or \(\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{v}\) donc \(\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\wedge m\,\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\) (produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires).Et on a, d’après le principe fondamental de la dynamique : \(m \, \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} = m\,\overrightarrow{a} = \displaystyle{\sum_i} \overrightarrow{F_i}\). 5 Notion de mécanique du solide : moment d’inertie 5 6 Théorème du moment cinétique 6 6.1 Par rapport à un point fixe ..... 6 6.2 Par rapport à un axe ..... 6 6.3 Interprétation : le patineur ..... 6 7 Exemple du pendule simple 7 8Références 8 1 On essaye donc de choisir dans la mesure du possible un point fixe. Le moment cinétique est défini par : W = I w. Le principe de conservation de l'énergie mécanique s'écrit ainsi : T + U = I w 2 + U = cte U: énergie potentielle Théorème du moment cinétique : Cette vidéo définit le théorème du moment cinétique et son application directe sur l'équation du mouvement pour le pendule simple. Soit O un point de cet axe et M un point dont on connaît le moment cinétique \(\overrightarrow{L_O}(M) \) par rapport à O.Le moment cinétique de M par rapport à l’axe \(\Delta\) est : \begin{equation}\boxed{L_{\Delta} = \overrightarrow{L_O}(M) \centerdot \overrightarrow{u_{\Delta}}}\end{equation}. Exprimons les moments d'inertie des trois principaux cylindres qui constituent le pendule pesant et appliquons pour chacun le théorème d'Huygens. \overrightarrow{L_O}(M) &= \overrightarrow{OM} \wedge m\,\overrightarrow{v} \\ Moment cinétique. Un produits d’inertie utilise non pas la distance au carré par rapport à un point mais le produit des distances par rapport à deux plans orthogonaux. Dans cet article nous revoyons les bases du calcul des moments, produits et matrices d’inertie. Au vu de sa définition, le moment d’inertie dépend de la répartition de masse du corps en question. \begin{equation}\begin{aligned} Étant donné qu’une fois la rotation engagée, la somme des moments des forces appliquées au patineur est nulle, le moment cinétique doit être constant. \end{array}\right.\). : Rayon de l'axe. Littéralement, cela devient : la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d’un point M par rapport à un point O est égale à la somme des moments des forces par rapport à O appliquées à ce point M. Montrons que ce théorème est une conséquence directe du principe fondamental de la dynamique. \Longleftrightarrow m\,\ell^2\,\overset{\centerdot\centerdot}{\theta}\,\overrightarrow{u_z} &= - m\,g\,\ell\,\sin \theta \,\overrightarrow{u_z}\end{aligned}\end{equation}, \begin{equation}\Longleftrightarrow \boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{\theta} + \dfrac{g}{\ell} \sin\,\theta = 0} Pour obtenir son expression, il suffit de projeter le théorème par rapport à un point fixe. Calculer : a) le travail du moment du couple de freinage b) le moment de ce couple c) la force de freinage 13° Une meule de moment d'inertie J = 40 kg. et l’axe L’action de l’axe sur le solide est du type liaison pivot : la somme des forces n’est pas nulle mais la somme des moments est nulle. Tout élément de symétrie d’un système contient son centre d’inertie. La distance par rapport au plan Oxy est z. 0 & & 0 & & m\,\ell^2\,\overset{\centerdot}{\theta} a) Vrai b) Faux 10. a) Rappeler le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) : Théorème de la résultante dynamique : Fext =m×aG Théorème du moment dynamique : MG (Fext )=IG ×α Exprimons tout d’abord le moment cinétique en O : \begin{equation}\overrightarrow{L_O} = \overrightarrow{OM} \wedge m\,\overrightarrow{v} = Étudiant le mouvement de ce point par rapport à un référentiel \(\cal{R}\), on n’indicera pas les différentes quantités mais ces indices sont sous-entendus. Ce qui est apprécié des juges, c’est un changement de rythme dans la vitesse de rotation : pour réaliser cela, le patineur change la répartition de sa masse en positionnant ses bras ou une jambe plus ou moins loin de son corps.En faisant cela, il modifie son moment d’inertie. On définit le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation : Le moment cinétique du solide autour de l'axe (ou en un point quelconque de l'axe) est : où désigne la distance du point M à l'axe de rotation. \(\left|\begin{array}{l} Dans cette matrice on va placer : On pourra retenir le sens des flèches pour la répartition des lettres, mais la petite astuce avec les colonnes suffit aussi. Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. www.math15minutes.fr/matrice-moment-produit-inertie-guldin-huygens m2 tourne à la fréquence de rotation de 1200 tr/min. Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un système matériel pris par rapport à un point fixe \(A\) du référentiel est égale au moment résultant par rapport à \(A\) des seules forces extérieures appliquées au système. On peut établir une relation entre le moment cinétique en un point O’ et celui en un point O : \begin{equation}\begin{aligned} L’équation est une équation bien connue qui peut être retrouvée facilement à l’aide de la relation fondamentale de la dynamique ou à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique (car \(\overrightarrow{T}\) ne travaille pas et \(\overrightarrow{P}\) est conservative).La méthode du théorème du moment cinétique n’est dans ce cas pas meilleure qu’une autre. Ce moment cinétique caractérise la tendance d’un objet à continuer à tourner autour de \(\Delta\), du fait de son inertie. On peut également exprimer le module de ce moment de force en fonction de l’angle \(\theta\) : \begin{equation}\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = \left|\left|\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F})\right|\right| = \left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|\times \sin \theta\end{equation}. Par définition, l… Ce que nous avons écrit juste avant préparait l’arrivée de la matrice d’inertie. Exercice : Mouvement d'une barre autour d'un axe fixe . On peut alors exprimer le moment cinétique d’un corps par rapport à un axe de la façon suivante : \begin{equation}\boxed{L_{\Delta}= J_{\Delta} \times \omega}\end{equation}. ∶ Longueur de la course. Le centre d’inertie est le centre de gravité. Accueil. Dans ce cas, un terme vient s’ajouter à la formule initiale ce qui complique les calculs. Le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation Oy du pendule s'écrira donc: Nous avons négligé le moment d'inertie du … Principe d'inertie - Mouvement d'un point matériel . On déduit les autres formules par des permutations. En général, on cherche à faire tourner un corps autour d’un axe, on utilise alors le moment d’inertie par rapport à cet axe que l’on note \(J_{\Delta}\). Complément: L'utilité d'un tel transfert sera utile lors du calcul du théorème du moment cinétique ou celui de l'énergie cinétique du solide, effectués plus loin. TP N°4: Moment d'Inertie Atelier de Mécanique Générale & R.D.M Page:3 L’expression du moment d’Inertie d’un volant roulant sur un plan incliné est la suivante : = û Û F Û Û Û − G () Avec : : Masse du volant (voir caractéristiques en annexe). Le volume engendré par la rotation d’une surface S plane homogène autour d’un axe dans son plan ne la traversant pas est égal à : où xG est la distance du centre d’inertie de la surface à l’axe. La calculatrice Python de Numworks : voici pourquoi c’est important ! Le bras de levier est la distance \(d=OH\), où H est le projeté orthogonal de O sur la droite d’action de la force \(\overrightarrow{F}\). Théorème du centre d'inertie . Trouver la position du centre d'inertie de la plaque par deux méthodes. V-Questions : Dresser un tableau du moment du couple du Le vecteur \(\overrightarrow{L_O}(M)\) semble venir vers nous dans la figure ci-dessus : ce sens est obtenu par le fait que la base (\(\overrightarrow{OM}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{L_O}(M)\)) est directe. Dans le cas de l’étude du mouvement d’un point, on ne travaille qu’avec un seul vecteur, le vecteur moment cinétique ou le vecteur quantité de mouvement, car ceux-ci sont liés. Sur la figure [momentO], on voit que le \(\sin \theta\) peut être relié au bras de levier.En effet : \begin{equation}\sin \theta = \dfrac{d}{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|} \Longleftrightarrow \left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right| \times \sin \theta = d\end{equation}. Tout plan de symétrie est plan principal d’inertie : D = E = 0 si Oxy est un plan de symétrie. Nous avons dit précédemment que le moment cinétique était équivalent pour la rotation à ce qu’est la quantité de mouvement pour la translation. Résolution générale du théorème du moment cinétique Bonjour, Un problème me tracasse depuis quelques temps déjà: je cherche à résoudre de façon générale le théorème du moment cinétique appliqué au centre d'inertie d'un solide. Le théorème du moment dynamique: la somme des moments des forces exercées par les solides extérieurs à S sur S et des moments des couples est égale au produit du moment d'inertie du solide S par l'accélération angulaire α du solide rotation. Conclusion. En résumé, avec le bilan des forces, les équations du mouvement déduites du théorème du centre d'inertie sont : Trois inconnues (les deux composantes de la réaction du plan et l'accélération linéaire) pour deux équations, la résolution complète nécessite une équation supplémentaire qui provient du théorème du moment cinétique. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies, pour réaliser des statistiques et vous proposer des offres et services adaptés à vos besoins. \label{equadiff}\end{equation}. Cependant pour des corps homogènes et de formes géométriques simples, l’expression du moment d’inertie est simple : Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cerceau de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = mR^2\) ; Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cylindre ou d’un disque de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = \frac{1}{2}mR^2\) ; Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’une sphère de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = \frac{2}{5}mR^2\) ; Soit O un point fixe du référentiel d’étude \(\mathcal{R}\) .Écrivons ce théorème mathématiquement : \begin{equation}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation}. L’exemple du pendule nous montre qu’on peut obtenir l’équation du mouvement soit par la RFD, le théorème de l’énergie cinétique ou encore le théorème du moment cinétique. Cette matrice est obtenue en développant l’expression suivante avec un vecteur quelconque Ω (p, q, r) et OP(x, y, z) puis en extrayant Ω. Dans le repère la distance par rapport à l’axe Ox au carré est y2 + z2. Calculons la matrice d’inertie d’un cylindre de masse M, de section de rayon R et de hauteur H. On nomme O le centre de la base. On procède ensuite par permutations. Formules et moyens mnémotechniques exposés de manière simple. : Accélération de la pesanteur (9,81m/s²). Partenaires, Cours 2 : pratiques de la démarche scientifique, Cours 1 : lois de l'optique géométrique, Cours 2 : généralités systèmes, miroirs, Cours 1 : théorème du moment cinétique, Cours 3 : changement de référentiel, référentiels non galiléens, Cours 6 : Fonction de transfert - Fourier - filtres électrocinétiques, Cours 8 : mouvement de charges dans un conducteur, Cours 21 : théorème du moment cinétique, Définition du moment cinétique par rapport à un point, Exemple du moment cinétique en coordonnées polaires, Moment cinétique en O’ différent de O, Définition du moment d’une force par rapport à un point, Moment d’une force par rapport à un axe, Interprétation physique du moment de force, Notion de mécanique du solide : moment d’inertie, Démonstration du théorème du moment cinétique par le PFD, Théorème du moment cinétique appliqué au pendue simple, M22 : Mouvement d'un corps soumis à une force centrale, M23 : Changement de référentiels, référentiels non galiléens, Le dernier chapitre concerne le mouvement des charges dans un conducteur, Série de vidéos sur le cours EM17 où l'on présente les notions d'inductions, Série de vidéos sur le cours EM16 où l'on parle de dipôle magnétique, Série de vidéos sur le cours EM15 qui traite du champ magnétique, Série de vidéos sur le cours EM14 qui traite des conducteurs et condensateurs, Série de vidéos sur le cours EM13 qui traite du dipôle électrostatique, Playlist vidéos sur &= m \, r^2 \overset{\centerdot}{\theta} \,\overrightarrow{e_z}\end{aligned}\end{equation}. \end{array}\end{equation}, \begin{equation}\begin{aligned} Ainsi l’expression de la norme du moment devient : \begin{equation}\boxed{\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = d \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|}\end{equation}. \overrightarrow{L_{O'}}(M) &= \overrightarrow{O'M} \wedge \overrightarrow{p} \\ On peut exprimer la norme de ce moment cinétique en fonction de l’angle que forme la droite (OM) et le vecteur \(\overrightarrow{v}\) : \begin{equation}L_O(M) = \left|\left|\overrightarrow{L_O}(M) \right|\right|=OM \times m\,v \times \sin \alpha\end{equation}. Cependant pour des corps homogènes et de formes géométriques simples, l’expression du moment d’inertie est simple : Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cerceau de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = mR^2\) ; \begin{equation}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = \overrightarrow{OM} \wedge \sum_i \overrightarrow{F_i} = \sum_i \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F_i} = \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F_i})\end{equation}. 12. \end{array}\end{equation}, \begin{equation}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = m\,\ell^2\,\overset{\centerdot\centerdot}{\theta}\,\overrightarrow{u_z}\end{equation}. 0 &\wedge & m\,\ell\,\overset{\centerdot}{\theta} & =& 0 \\ On note . JA et JB représentent le moment d’inertie des cylindres a et b par rapport … Toujours en faisant un parallèle avec ce qui a été vu sur le moment cinétique, si \(\Delta\) est un axe orienté par le vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_{\Delta}}\), le moment d’une force par rapport à l’axe (\(\Delta\)) s’écrit : \begin{equation}\boxed{\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) \centerdot \overrightarrow{u_{\Delta}}}\end{equation}. Pour le retrouver, on peut utiliser les trois doigts de la main droite (pour former le trièdre) ou la règle du tire-bouchon. RemarqueOn peut également utiliser ce théorème en l’appliquant en un point non fixe du référentiel. Il arrive souvent que toutes les forces soient dans un même plan. Pour obtenir le même moment de force qu’avec le tournevis, la force à appliquer pour faire tourner la vis est moins importante. Centre d’inertie Etant donné un système formé de N particules matérielles, chacune étant repérée par un • Savoir écrire correctement le TMC ou le théorème du centre de masse pour un solide ou un ensemble de points matériels (on se limite à 2 points dans ce cas là). Ainsi, il ne sera plus question d’utiliser les forces elle-mêmes, mais leur moment. La matrice centrale d’inertie d’une ensemble est sa matrice d’inertie en son centre de gravité. Référentiel : du laboratoire considéré galiléen ; Système : masse \(m\) considérée ponctuelle en un point M ; Forces : poids \(\overrightarrow{P}\) ; tension du fil \(\overrightarrow{T}\). You may use these HTML tags and attributes: il y à une erreur dans la matrice du theoreme de Huygens, l'élement B (l2:c2) est xg^2+zg^2 et non yg^2+xg^2. Appliquons le théorème du moment cinétique au point d’attache fixe O du pendule : \begin{equation}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} =\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{P}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{T})\end{equation}. Le moment d’inertie d’un point P de masse m par rapport à un point A (moment d’inertie ponctuel) ou par rapport à un axe (moment d’inertie axial) ou par rapport à un plan (moment d’inertie planaire) situé à une distance d est : Pour un ensemble de point on fait la somme. La calculer pour le point A et le point C. 3. Finalement (théorème « scalaire » du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l'axe de rotation ) : En projetant le théorème du moment cinétique sur cet axe, on obtient le théorème du moment cinétique par rapport l'axe : En utilisant : où désigne la vitesse angulaire du solide, portée par l'axe . Dans le domaine du bricolage, on fait souvent appel à la notion de bras de levier, sans le savoir. Par exemple, si vous voulez retirer une vis récalcitrante, il vaut mieux utiliser une clé à cliquet munie d’un embout de vissage plutôt qu’un tournevis :En effet, avec un tournevis, on force en étant au dessus de la vis, le bras de levier (donc le moment de la force appliquée) est tout petit. Moment d'inertie d'un solide. OS, 31 janvier 2006 156 Théorème de Steiner (applications) • Formule de Steiner pour les moments d’inertie: – C = axe de direction u passant par un point C quelconque G = axe de direction u passant par le centre de masse G – d = distance entre les deux axes Exercice : Chute d'une tartine beurrée. &= (\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM}) \wedge \overrightarrow{p}\\ Comme pour le vecteur moment cinétique, le sens du vecteur moment est donné par la règle de la main droite ou la règle du tire-bouchon. Dans la suite de ce chapitre nous développerons les notions de : moment d'inertie, moment statique, moment résistant et de rayon de giration. \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} &=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{P}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{T}) \\ Chapitre 6: Moment cinétique II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 3) Lois de conservation en mécanique. la distance entre . Tout axe de symétrie est axe principal d’inertie : D = E = F = 0 si Oz est axe de symétrie. Cette projection est indépendante du point de l’axe choisi. Théorème du moment cinétique pour un système . Avec le vecteur GO(xg, yg,zg) = (0,0,-H/2) : Your email address will not be published. • D’après le théorème d’Huygens, l’expression théorique du moment d’inertie de la barre avec les deux masses M placées symétriquement à la distance d de son axe de rotation est J + 2Md2. Vu la physionomie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques. et . Même si on ne s’intéressera principalement qu’à la mécanique du point dans ce chapitre, nous ferons une petite parenthèse sur la mécanique du solide en parlant du moment d’inertie et de sa signification. Pour un soutien régulier pour la production de nouvelles vidéos, rendez-vous sur le patreon, Pour soutenir notre travail global, cliquez sur ce lien, Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR, AccueilPlan du siteStatistiquesContact • Connaître la définition du centre de masse. Exercice : La mécanique de la marche. On obtient la matrice en exprimant \(\vec{\sigma_{O}}\) sous la forme : En utilisant la relation matricielle entre vecteurs vue plus haut ainsi que la relation de Chasles, on obtient : Soit un axe Δ et d la distance entre Δ et G. La formule suivante donne la relation entre le moment d’inertie par rapport à Δ et celui par rapport à l’axe parallèle à Δ mené par G. De même, par rapport à deux plan (si a et b sont les distances de G par rapport à ces plans) : Si O est un point de l’axe Δ (Oxyz orthonormé) et si u(α,β,γ) est un vecteur unitaire de Δ : On obtient la formule à partir de \(d^2 = (\vec{u}\wedge\vec{OP})^2\). Un cours sur les méthodes numériques (Euler, Runge-Kutta), Le cours sur les lois de l'optique géométrique en mp3, Ensemble de vidéos complémentaires sur le cours 2 de méthodes scientifiques, Cours d'électrocinétique sur les résonances du circuit RLC série, Une vidéo d'électromagnétisme : l'effet Hall, Une vidéo de mécanique : base polaire, définition et utilisation dans le pendule simple, Une vidéo de mécanique : méthode d'Euler, explications et exemple, Une vidéo d'optique : principe du microscope, Une vidéo d'optique : principe de la lunette astronomique, Une vidéo d'optique : principe de la lunette de Galilée, Une vidéo d'optique : Application des lois de l'optique géométrique : le prisme, Une vidéo d'électrostatique : calcul du champ créé par un fil infini par la méthode intégral, Cours d'électrocinétique du le régime sinusoïdal, Résumé de cours sur les notions d'induction, Résumé de cours sur le circuit RLC série, Un cours d'électromagnétisme sur quelques notions d'induction, Une vidéo d'électrocinétique sur le circuit RLC série, Une vidéo d'électrocinétique sur la charge d'un condensateur, MS2 : Pratiques de la démarche scientifique, TD M24 : TD sur le système isolé à deux corps, TD M23 : TD sur les changements de référentiels, M23 : changement de référentiels, référentiels non galiléens, M22 : mouvement d'un point M soumis à une force centrale, TD M21 sur le théorème du moment cinétique, O2 : généralités sur les systèmes optiques, miroirs, TD EM7 sur le mouvement de charges dans un conducteur, EM7 sur le mouvement de charges dans un conducteur, TD EM5-EM6 sur le dipole et le champ magnétique, TD EM4 sur les conducteurs, condensateurs, EM4 sur les conducteurs en équilibre, les condensateurs, TD EM2 sur le potentiel et l'énergie électrostatiques, Une ressource pour le programme 2012 de terminale : convertisseur analogique-numérique, EM2 Potentiel et énergie électrostatique, EM0 Outils mathématiques pour l'électromagnétisme.
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